点估计(考试向)
Published:
点估计(考试向)
怎么判断是不是无偏估计
- 看\(E(x^{’})=x\)是否成立
- 其中\(x^{‘}\) 的期望怎么算呢?
- 首先你要用总体的分布去给他重新定义一个随机变量比如说\(Y=x_1+x_2+…+x_n\) 这样然后我们去看\(Y\) 的分布这样就能得到一个PDF,接着就能算期望。
怎么判断那个点估计的有效性最好(最差)
- 先求期望，筛选出无偏估计量
- 再求方差(熟悉多变量的方差运算同时由于统计取值的时候基本上假设变量都是相互独立的所以协方差都是0(涉及次序统计量的除外)，从而能够对求和进行拆解)
证明不存在无偏估计:
- 反证法，假设存在然后写出期望的公式函数，用可导性证明(左边处处可导，右边在某一点不可导)
关于次序统计量的均值方差计算(重点关注$x_{(1)}$ 和$x_{(n)}$ )
服从$U(0,\theta)$ 的均匀分布：
\[E(x_{(1)})=\frac{1}{n+1} \theta\] \[E(x_{(n)})=\frac{n}{n+1}\theta\] \[Var(x_{(1)})=Var(x_{(n)})=\frac{n}{(n+1)^2(n+2)}\theta^2\] \[Cov(x_{(1)},x_{(n)})=\frac{1}{(n+1)^2(n+2)}\theta^2\] \[当服从U(0,1)时，\ \ x_{(n)}-x_{(1)} \sim Be(n-1,2)\]对于一般的次序统计量：
- 先算\(PDF\)
然后正常求\(E(x_{(k)}^2)\)和\(E(x_{(k)})\)
PS:\(x\) 和\(\bar{x}\)并不独立，所以当计算正态分布多随机变量运算方差的时候应该拆开独立进行运算。